диплом Комбинаторные свойства выпуклых многогранников 4 (id=idd_1909_0000706)

СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКОВ 6
1.1. Выпуклые многогранники и их свойства 6
1.2. Правильные многогранники и их свойства 8
1.3. Полуправильные многогранники 17
1.4. Звездчатые многогранники 23
ГЛАВА 2. КОМБИНАТОРИКА ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ: ТЕОРЕМЫ 29
2.1. Теорема Эйлера о многогранниках и классификация правильных многогранников 29
2.2. Теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с данным набором граней и ее обобщения 34
2.3. Графы многогранников 38
ГЛАВА 3. КОМБИНАТОРИКА ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ 41
3.1. Роль и задачи школьного курса стереометрии в изучении комбинаторики выпуклых многогранников 41
3.2. Анализ учебной и методической литературы по изучению комбинаторики выпуклых многогранников 43
3.3. Задачи школьного курса с решением комбинаторики выпуклых многогранников на основании теорем 50
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 59


ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Комбинаторика выпуклых многогранников тесно связана со многими разделами математики – в особенности, с линейным программированием и математической экономикой, с дискретной математикой, с задачами оптимизации, с теорией чисел, с топологией, с алгебраической геометрией и математической физикой.
Удивительно то, что при огромном разнообразии правильных многоугольников, правильных многогранников из них можно получить лишь пять. И доказать это не сложно. Давно было замечено, что между числом граней, рёбер и вершин многогранника есть простое соотношение. По таблице видно, что сумма всех граней и числа вершин всегда на 2 больше числа рёбер. Это наблюдение верно для любого выпуклого многогранника и составляет содержание теоремы Эйлера.
Многогранник – это часть пространства, ограниченная соединенными между собой многоугольниками так, что сами многоугольники являются его гранями, стороны – ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. В зависимости от видов многоугольников, образующих многогранники, они делятся на множество групп. Рассмотрим самые важные из них.
По форме различают правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники.
Многогранник называется правильным, если:
1) он выпуклый;
2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;
3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер;
4) все его двугранные углы равны.
В свое время Евклид доказал, что правильных многогранников существует всего пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, – и даже посвятил им XIII том «Начал». Стороны многогранников образованы правильными треугольниками (тетраэдр, октаэдр и икосаэдр), квадратами (куб) и правильными пятиугольниками (додекаэдр).
Названия многогранников имеют древнегреческое происхождение, в них зашифровано число граней. «Эдра» -грань, «тетра» – четыре, «гекса» – шесть, «окта» – восемь, «додека» – двенадцать, «икоса» – двадцать.
Цель исследования заключается в анализе специфики многогранников в истории и теории геометрии.
Задачи работы:
– Свойства многогранников.
– Комбинаторика выпуклых многогранников: теоремы.
– Комбинаторика выпуклых многогранников в школьном курсе геометрии.
В качестве гипотезы выступает предположение о том, что многогранники недостаточно глубоко изучены.
Объект исследования: виды многогранников и области их применения.
Процедура исследования состояла из следующих этапов: сбор и анализ материала, обзор работ учёных по данной тематике, проведение классификации многогранников и областей их применения. В качестве методов исследования применялись описательный, поисковый, метод сравнения и сопоставления, метод анализа и синтеза информации, полученной из различных источников.
Новизна исследования заключается в том, что работа представляет собой интереснейший исторический материал, роль которого в геометрии весьма существенна. На основании полученных данных пришли к выводам: с одной стороны появление новой теории о многогранниках расширяет кругозор учащихся, а с другой стороны практических задач по этим видам многогранников почти нет.
Поэтому практическую часть данного объекта нужно значительно расширить и углубить.
Область практического применения: как дидактический материал на уроках геометрии, истории, изобразительного искусства, черчения, литературы
Методы исследования: теоретический анализ научной исследовательской литературы, анализ теорий выпуклых многогранников на основе школьного курса математики и высшей математики.
Структура работы представлена введением, тремя главами, заключением и списком литературы.
ГЛАВА 1. СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКОВ

1.1. Выпуклые многогранники и их свойства

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д. Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии.
Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных фигуры.
Геометрические тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название «многогранники». Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней [11].
Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства: Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника.
Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.
Многогранники можно условно разделить на:
– Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название – Архимедовы тела).
– Невыпуклые многогранники (звёздчатые).
На рисунке 1 приведены примеры выпуклых и невыпуклых многогранников.



Рисунок 1 – Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников[12]

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники.
Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:
– Тетраэдр.
– Гексаэдр.
– Октаэдр.
– Додекаэдр.
– Икосаэдр.
Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников.
Благодаря своему самому захватывающему свойству – симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.
Из определения правильного многогранника следует, что правильный многогранник «совершенно симметричный»: если отметить какую-то грань Г и одну из её вершин А, то для любой другой грани Г1 и её вершины А1 можно совместить многогранник с самим собой движением в пространстве так, что грань Г совместится с Г1 и при этом вершина А попадает в точку А1.
В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью. В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со свойствами призмы с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой.

1.2. Правильные многогранники и их свойства

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.
Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных фигуры. Геометрические тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название «многогранники». Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.
Тем не менее, у всех многогранников есть общие свойства[30]:
Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.
Многогранники можно условно разделить на[9]:
Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название – Архимедовы тела).
Невыпуклые многогранники (звёздчатые).
Призма и её свойства.
Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как[9]:
Параллелепипед – образуется, если в основании лежит параллелограмм – многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
Прямая призма имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
Наклонная призма характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
Правильная призма характеризуется основаниями в виде правильного многоугольника с равными боковыми гранями.


Рисунок 5 – Призма

Основные свойства призмы:
Конгруэнтные основания.
Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
Все боковые грани имеют форму параллелограмма.
Пирамида.
Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке – вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник – это треугольная пирамида, четырёхугольник – четырёхугольная, и т. д.



Рисунок 6 – Пирамида

Пирамиды – это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей[23]:
Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.
Свойства пирамиды:
В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.
Правильный многогранник: виды и свойства многогранников
В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:
Тетраэдр.
Гексаэдр.
Октаэдр.
Додекаэдр.
Икосаэдр.
Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству – симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с

Заказать эту работу прямо сейчас

Посмотреть другие готовые работы по предмету МАТЕМАТИКА ИНФОРМАТИКА

© 2002-2024 Москва 'Мастерская дипломов'. Все права защищены.